等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）在（1）问的条件

Question

等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．

（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．

Answer 1

（1）∵PE⊥AB，∠B=60°，
因此直角三角形PEB中，BE=(1)/(2)BP=(1)/(3)BC=PC，
∴∠BPE=30°，
∵∠EPF=60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，

∠B=∠C

BE=PC

∠PEB=∠FPC=90°

，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP=PF，
∵∠EPF=60°，
∴△EPF是等边三角形．
（2）过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=(2)/(3)BC=4，BE=CP=(1)/(3)BC=2，
在三角形FCP中，∠PFC=90°-∠C=30°，
∵∠PFE=60°，
∴∠GFC=90°，
直角三角形FGC中，∠C=60°，CF=4，
∴GC=2CF=8，
∴GB=GC-BC=2，
直角三角形BEP中∠EBP=60°，BP=4，
∴PE=2√(3)，BE=2，
∴EH=BE•PE÷BP=√(3)，
∴S_△GBE=(1)/(2)BG•EH=√(3)；
（3））∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠EPF=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴(BP)/(CF)=(BE)/(CP)，
设BP=x，则CP=6-x．
∴(x)/(2)=(4)/(6-x)，
解得：x=2或4．
当x=2时，在△△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
过E作EH⊥BC于H，
则EH=BE•sin∠B=2√(3)，BH=2，
∴PH=0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x=2不合题意，舍去；
当x=4时，在△△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE=4．
故PE=4．