小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．特例如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP

Question

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．
【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE=PC，连接PD得到PD=PA，同时∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A+P′B+P′C>PA+PB+PC，即点P到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=120°，证明PA+PB+PC的值最小；
【拓展】（2）如图3，△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=30°，且点P为△ABC内一点，求点P到三个顶点的距离之和的最小值．

Answer 1

（1）如图1，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，

∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE，
∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°，
∴△APD为等边三角形，
∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°，
∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四点共线，
∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．
∴PA+PB+PC的值最小．

（2）如图，分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，

∴AB=DB、BE=BC=8、∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
∵

AB=DB

∠ABE=∠DBC

BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD=AE、∠BAE=∠BDC，
又∵∠AOP=∠BOD，
∴∠APO=∠OBD=60°，
在DO上截取DQ=AP，连接BQ，
在△ABP和△DBQ中，
∵

AB=DB

∠BAP=∠BDQ

AP=DQ

，
∴△ABP≌△DBQ（SAS），
∴BP=BQ，∠PBA=∠QBD，
又∵∠QBD+∠QBA=60°，
∴∠PBA+∠QBA=60°，即∠PBQ=60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PB=PQ，
则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE，
在Rt△ACE中，∵AC=6、CE=8，
∴AE=CD=10，
故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10．