1,设f(x)以x-1除之,余式为8,以x的平方+x+1除之的余式为7x+16,求x的三次方-1除之的余式为多少?2,如果实数a,b满足a^2+b^2=1,|1-2a+b|+2a+1=b^2-a^2则a+b=?

Question

1,设f(x)以x-1除之,余式为8,以x的平方+x+1除之的余式为7x+16,求x的三次方-1除之的余式为多少?
2,如果实数a,b满足a^2+b^2=1,| 1-2a+b |+2a+1=b^2-a^2 则a+b=?

Answer 1

第一题：
因为x^3-1=(x-1)(x2+x+1)
所以根据余式定理,
可设f(x)=g(x)(x^3-1)+a(x^2+x+1)+(7x+16)
其中a(x^2+x+1)+7x+16为余式
又因为设f(x)以x-1除之,余式为8
当x=1时得f(1)=8
得3a+23=8,得a=-5
把a=-5代入a(x^2+x+1)+7x+16得f(x)除以x^-1的余式为
-5(x^2+x+1)+7x+16=-5x^2+2x+11
第二题：
从a^2+b^2=1,可知a,b均属于[-1,1].
原式化为：‖1-2a+b‖＝b^2-(a＋1)^2≥0.可知a≤0,否则等式右边小于零.
又b^2-(a＋1)^2≤b^2≤1,所以b≤0,否则‖1-2a+b‖＞1.
那么绝对值里面的数为非负数,去掉绝对值,代入a^2=1-b^2,即可解答（如下参考）.
更直接的方法：去掉绝对值,有两种情形.解之,验证.（不赘述了）
参考：
由第一个式子知:-1