如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．求证：AC2BC2＝ADBD．

Question

如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．
求证：(AC2)/(BC2)＝(AD)/(BD)．

Answer 1

如图，连接AE、BE，
由弦切角定理可知，∠PCA=∠PAE，
则△PAC∽△PEA，得(AC)/(AE)=(PC)/(PA)，
同理，(BC)/(BE)=(PC)/(PB)．
∵PA=PB，
∴(AC)/(AE)=(BC)/(BE)，
即(AC)/(BC)=(AE)/(BE)，
在⊙O中，由△ACD∽△EBD，△AED∽△CBD，
可得(AC)/(BE)=(AD)/(ED)，
(AE)/(BC)=(ED)/(BD)，
从而(AC)/(BC)•(AE)/(BE)=(AD)/(BD)，
即(AC2)/(BC2)=(AD)/(BD)．