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如图,PA、PB与⊙O切于A、B两点,PC是任意一条割线,且交⊙O于点E、C,交AB于点D.求证:AC2BC2=ADBD.
题目详情
如图,PA、PB与⊙O切于A、B两点,PC是任意一条割线,且交⊙O于点E、C,交AB于点D.
求证:
=
.

求证:
AC2 |
BC2 |
AD |
BD |

▼优质解答
答案和解析
如图,连接AE、BE,
由弦切角定理可知,∠PCA=∠PAE,
则△PAC∽△PEA,得
=
,
同理,
=
.
∵PA=PB,
∴
=
,
即
=
,
在⊙O中,由△ACD∽△EBD,△AED∽△CBD,
可得
=
,
=
,
从而
•
=
,
即
=
.

由弦切角定理可知,∠PCA=∠PAE,
则△PAC∽△PEA,得
AC |
AE |
PC |
PA |
同理,
BC |
BE |
PC |
PB |
∵PA=PB,
∴
AC |
AE |
BC |
BE |
即
AC |
BC |
AE |
BE |
在⊙O中,由△ACD∽△EBD,△AED∽△CBD,
可得
AC |
BE |
AD |
ED |
AE |
BC |
ED |
BD |
从而
AC |
BC |
AE |
BE |
AD |
BD |
即
AC2 |
BC2 |
AD |
BD |
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