确定二次函数的表达式,鲁教版九年级上册配套练习册已知抛物线=ax^2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P,Q两点,与x轴,y轴分别交于点M,N.求（1）设点P到x轴的距离为2,试求直线l

Question

确定二次函数的表达式,鲁教版九年级上册配套练习册
已知抛物线=ax^2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P,Q两点,与x轴,y轴分别交于点M,N.
求
（1）设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数表达式；
（2）若线段MP与PN的长度之比为3：1,试求抛物线的函数表达式

Answer 1

⑴∵抛物线的顶点是C(0,1),
∴b=0,c=1,
∴y=ax²+1．
∵a＞0,直线l过点N(0,3),
∴M点在x轴正半轴上．
∵点P到x轴的距离为2,
即点P的纵坐标为2．
把y=2代入y=-ax+3得,
x=1/a,
∴P点坐标为(1/a,2)．
∵直线与抛物线交于点P,
∴点P在y=ax²+1上,
∴2=a•(1/a)²+1,
∴a=1．
∴直线l的函数关系式为y=-x+3．

⑵①如图1,若点P在y轴的右边,
过点P作PA⊥x轴于A,
∵∠PMA=∠NMO,
∴Rt△MPA∽Rt△MNO,
∴PA/ON=MP/MN．
∵MP/PN=3/1,
∴MP=3PN,MN=MP+PN=4PN
∴MP/MN=3/4,
即PA/ON=3/4,
∵ON=3,
∴PA=9/4,
即点P的纵坐标为9/4．
把y=9/4代入y=-ax+3,
得x=3/4a,
∴点P的坐标为(3/4a,9/4)．
又∵点P是直线l与抛物线的交点,
∴点P在抛物线y=ax²+1上,
∴9/4=a•(3/4a)²+1,
∴a=9/20．
抛物线的函数关系式为y=9/20·x²+1．
 

 
②如图2,若点P在y轴的左边,记为P′．作P′A⊥x轴于A,
∵∠P′MA=∠NMO,
∴Rt△MP′A∽Rt△MNO,
∴P′A/NO=MP′/MN．
∵MP′/P′N=3/1,
∴MP′=3P′N,MN=MP′-P′N=2P′N,
∴MP′/MN=3/2,即P′A/ON=3/2,
∵ON=3,
∴P′A=9/2,即即点P′的纵坐标为9/2．
由P′在直线l上可求得P′(-3/2a,9/2),
又∵P′在抛物线上,
∴9/2=a•(-3/2a)²+1,
∴a=9/14．
∴抛物线的函数关系式为y=9/14·x²+1．
综上,抛物线的函数关系式为y=9/20·x²+1或y=9/14·x²+1．