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一道函数与导数的题证明：当a>ln2-1且x>0时,e^x>x^2-2ax+1.
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一道函数与导数的题
证明：当a>ln2-1且x>0时,e^x>x^2-2ax+1.
证明：当a>ln2-1且x>0时,e^x>x^2-2ax+1.
▼优质解答
答案和解析
e^x>x^2-2ax+1
即e^x-x^2+2ax>1
设f(x)=e^x-x^2+2ax
求导f'(x)=e^x-2x+2a
再求导
f''(x)=e^x-2
令e^x=2 ==> x=ln2
∴x∈(0,ln2),f''(x)ln2-1∴a-ln2+1>0,即f'(x)>0恒成立
∴f(x)为增函数
∴f(x)>f(0)=e^0=1
即e^x-x^2+2ax>1
即e^x>x^2-2ax+1
即e^x-x^2+2ax>1
设f(x)=e^x-x^2+2ax
求导f'(x)=e^x-2x+2a
再求导
f''(x)=e^x-2
令e^x=2 ==> x=ln2
∴x∈(0,ln2),f''(x)ln2-1∴a-ln2+1>0,即f'(x)>0恒成立
∴f(x)为增函数
∴f(x)>f(0)=e^0=1
即e^x-x^2+2ax>1
即e^x>x^2-2ax+1
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