函数f(x)的导函数f'(x)在[a,b]上连续,求证f(x)在[a,b]内可导.

Question

函数f(x)的导函数f'(x)在[a,b]上连续,求证f(x)在[a,b]内可导.

Answer 1

函数f(x)的导函数f'(x)在[a,b]上连续,从而f（x）在开区间可导是显然的,下面关键是证明f(x)在x=a的右导数及x=b点的左导数存在,下面以x=a的右导数为例.为了证明函数证明 f‘+（a）=lim[f(x+a)-f(a)]/x {x大于0逼近0}存在,由函数f（x）在a点连续及洛比达法则可知
lim[f(x+a)-f(a)]/x{x大于0逼近0}= limf’（x+a）{x大于0逼近0} *
又由于 f‘（x）在[a,b]内连续,从而f在a点必然右连续,从而
上式*= f’（a+0）=f‘（a）
由右导数的定义可知
f‘+（a）=lim[f(x+a)-f(a)]/x = f’（a+0）=f‘（a）
从而f(x)在a点右导数存在,同理f(x)在b点左导数也存在.
综上,f（x）在[a,b]上可导.
郁闷,本来编辑好的,发现公式粘贴不上去.可以帮你的话,要加分啊!