请证函数f(x)在x0处若可导,则其导函数f'(x)在x0只能出现震荡间断点任何函数的导函数在x0处若可导,则其导函数在x0处要么连续要么只能出现震荡间断点,不会出现第一类间断点也不会出现第二

Question

请证函数f(x)在x0处若可导,则其导函数f'(x)在x0只能出现震荡间断点
任何函数的导函数在x0处若可导,则其导函数在x0处要么连续要么只能出现震荡间断点,不会出现第一类间断点也不会出现第二类间断点中的无穷间断点.
第一句话为：任何函数在x0处若可导

Answer 1

假设函数f（x）定义在区间（a,b）上,在（a,x0）和（x0,b）上连续,则x0点分3种情况讨论,1函数在x0点连续；2、x0点为第一类间断点；3、x0点为第二类间断点.
设原函数为F（x）.现在证只有情况1和3中的震荡间断点在X0存在原函数,若能证明F'（x0）=f（x0）即可
1 F'（x0）=[F（x）-F(x0)]/(x-x0) (x趋近X0）=罗比达法则=F'(x)(x趋近X0）=f(x)(x趋近X0）=f(x0)
2 F'（x0）=[F（x）-F(x0)]/(x-x0) (x趋近X0）=罗比达法则=F'(x)(x趋近X0）=f(x)(x趋近X0） 则F'(x0)左导数=f(x) (X左趋近XO）；F'(x0)右导数=f(x) (X右趋近XO）
第一类间断点分两种情况：1、f(x) (X左趋近XO）不等于f(x) (X右趋近XO）,则F'(x0)不存在.2、f(x) (X左趋近XO）等于f(x) (X右趋近XO）但不等于f（x0）,则F'(x0)不等于f（x0）,因此第一类间断点无原函数.
3 第二类间断点也分两种情况,1无穷间断点,证明可同上,可知在间断点左右导数中至少一个不存在.2震荡间断点,需视情况而定,这里给出一个震荡间断点的例子：原函数为F（x）=x^2*COS[1/（x^2）]（x非等于0） F（x）=0（x等于0）,函数为f（x）=2x*cos(1/x^2)+（2/x）*sin(1/x^2)（x非等于0） f（x）=0 （x=0） 可以看出本例中,原函数连续,而f（x）在0点为震荡间断点,但是易证F'(0)=f(o),所以震荡间断点可能存在原函数.
手打数学推断真累~刚好复习到这里,看到你的问题,也算是互相帮助,互相学习了.