高二选修2-1解析几何问题已知斜率为1的直线l过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F,与抛物线C相交于A、B两点,且线段|AB|=8.(1)求抛物线C的方程.(2)求以抛物线C的准线与x轴的交点D为圆心,且与直

Question

高二选修2-1解析几何问题
已知斜率为1的直线l过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F,与抛物线C相交于A、B两点,且线段|AB|=8.
(1)求抛物线C的方程.
(2)求以抛物线C的准线与x轴的交点D为圆心,且与直线l相切的圆方程.

Answer 1

焦点F(p/2,0),设直线参数方程为
x=p/2+tcos45
y=tSin45
45度为倾角,t为直线上一点(x,y)到F(p/2,0)的距离(有正负)
将参数方程代入y^2=2px
(tsin45)^2=2p(p/2+tcos45)
t^2 -(2根2)pt-2p^2=0
|t1-t2| 为AB长度8,平方后得；
(t1+t2)^2-4t1t2=64
[(2根2)p]^2-4(-2P^2)=64
l6P^2=64 p=2
y^2=4x
(2)准线X=-P/2=-1
I圆心O(-1,0)
AB所在直线y=x-1
x-y-1=0
(-1,0)到上面直线距离为半径r
r=|-1-0-1|/根号(1+1)=根2
说明；(a,b)到Ax+By+c=0的距离公式请记住；
|aA+bB+C|/根号(A^2+B^2)
(x+1) ^2+y^2=4
第一问方法2
设A(x1,y1).B(x2,y2)
AB过焦点
AB=x1+x2+P.1
直线L； y=x-p/2代入y^2=2px
x^2-3px+p^2/4=0
x1+x2=3P代入1式
3p+p=8
p=2