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利用导数证明n-n^2/2
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利用导数证明n-n^2/2
数学
作业帮用户2017-10-27▼优质解答
答案和解析
1.证明 n-n^2/2 < ln(1+n）.
令 f(x)= ln(1+x)-x+ x^2/2
f(1)=ln2 - 1 + 1/2 = ln2 - 1/2 >0
f ' (x) = 1/(1+x) -1 + x = x^2 / (1+x) > 0 ( x>1)
=> f(x) 当 x>1 时是增函数,f(x) > f(1) >0
于是 n-n^2/2 < ln(1+n）
2.另外一边同理可证.
令 f(x)= ln(1+x)-x+ x^2/2
f(1)=ln2 - 1 + 1/2 = ln2 - 1/2 >0
f ' (x) = 1/(1+x) -1 + x = x^2 / (1+x) > 0 ( x>1)
=> f(x) 当 x>1 时是增函数,f(x) > f(1) >0
于是 n-n^2/2 < ln(1+n）
2.另外一边同理可证.
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