若函数f(x)=ax-根号(x^21)(a>0)在[0,∞)上为单调函数,则a的取值范围是

Question

若函数f(x)=ax-根号(x^2 1)(a>0)在[0,∞)上为单调函数,则a的取值范围是

Answer 1

f(x)=ax-√(x²+1)
f'(x)=a-x/√(x²+1)
f(x)为单调函数,则对[0, ∞), f'(x)不变符号（即全部x有f'(x)≥0或对全部x f'(x)≤0 ）
先考察函数g(x)=x/√(x²+1)=1/√(1+1/x²)
知g(x)在 [0, ∞)上为单增函数,所以 0=g(0)≤g(x)≤g(+∞)=1
知对全部x∈ [0, ∞) 有 f'(x)=a-g(x)≤0是不可能的 ,因为需要a≤min(g(x))=0 与题设a>0矛盾
所以必须要求对全部x∈ [0, ∞) 有 f'(x)=a-g(x)≥0 需要 a≥max(g(x))=1
所以a的取值范围为a≥1
没学过导数,可用
若0≤x