已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．（1）求AEAC的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．

Question

已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．

（1）求(AE)/(AC)的值；
（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．

Answer 1

（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M，
∵F为AB的中点，
∴M为BC的中点，FM=(1)/(2)AC．
∵FM∥AC，
∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．
∴△FMD∽△ECD．
∴(DC)/(DM)＝(EC)/(FM)＝(2)/(3)．
∴EC=(2)/(3)FM=(2)/(3)×(1)/(2)AC=(1)/(3)AC．
∴(AE)/(AC)＝(AC−EC)/(AC)＝(AC−(1)/(3)AC)/(AC)＝(2)/(3)．
（2）∵AB=a，
∴FB=(1)/(2)AB=(1)/(2)a．
∵FB=EC，
∴EC=(1)/(2)a．
∵EC=(1)/(3)AC，
∴AC=3EC=(3)/(2)a．