抛物线C:x^2=4y上,过点抛物线C上不同的两点A,B分别作抛物线的切线相交于P点,向量PA*PB=0(1)求点P的轨迹方程（2）已知点F(0,1),是否存在a,使得向量FA*FB+aFP^2=0,若存在,求出a的值,不存在,说明理由~

Question

抛物线C:x^2=4y上,过点抛物线C上不同的两点A,B分别作抛物线的切线相交于P点,向量PA*PB=0 (1)求点P的轨迹方程（2）已知点F(0,1),是否存在a,使得向量FA*FB+aFP^2=0,若存在,求出a的值,不存在,说明理由~

Answer 1

（1）对方程求导y'=x/2 设A（x1,x1^2/4）B（x2,x2^2/4） 列出直线AP的方程y=x1x/2-x1^2/4 同理BP的方程 y=x2x/2-x2^2/4 因为P是交点 所以解出P（（x1+x2）/2,-1） 可知P经过恒定点-1 所以P的轨迹方程是y=-1
（2）因为PA*PB=0 所以直线AP与BP垂直 所以两直线的斜率相乘等于-1 即x1x2/4=-1
设P为（x,-1） 由FA*FB+aFP^2=0得 （x1,x1^2/4）*（x2,x2^2/4）+a（x^2+4）=0
其中（x1,x1^2/4-1）*（x2,x2^2/4-1）=x1x2+(x1x2)^2/16-[(x1+x2)^2-2x1x2]/4+1=-4-(x1+x2)^2/4
有上小题可知x=（x1+x2）/2 所以-4-(x1+x2)^2/4=-4-x^2 当a=1的时候FA*FB+aFP^2=0成立
所以a=1