如图△ABC是等边三角形,p是三角形外一点且∠ABP+∠ASP=180°.求证:PB+PC=PA

Question

如图△ABC是等边三角形,p是三角形外一点且∠ABP+∠ASP=180°.求证:PB+PC=PA

Answer 1

如图,连接AP,BP,CP
得三角形ABP,ACP
逆时针旋转三角形ABP,重叠边AB,AC,设新得P点为P1
因三角形ACP1由三角形ABP旋转而得,所以三角形ACP1与三角形ABP全等
又所以角BAP=角CAP,AP=AP1,BP=CP1,角ABP=角ACP1
因为角BAP+角PAC=60度
因为角BAP=角CAP1
所以角BAP+角PAC=角CAP+角CAP1=角PAP1=60度
因为∠ABP+∠ASP=180°,角ABP=角ACP1
所以角ACP1+角ASP=180°,所以点P,C,P1在一条直线上
又因为AP=AP1,角PAP1=60度
所以三角形APP1是等边三角形
所以PA=PP1=AP1
又因为BP=CP1
所以PC+P1C=PC+PB=PP1=PA
PB+PC=PA