点P为正方形ABCD的外接圆的圆弧AD上的任意一点,连接PA,PB,PC.求证PA+PC/PB的值为求证PA+PC/PB的值为常数

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点P为正方形ABCD的外接圆的圆弧AD上的任意一点,连接PA,PB,PC.求证PA+PC/PB的值为
求证PA+PC/PB的值为常数

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答案和解析

当 P=A 或 P=D 时,容易算得（PA+PC）/PB = 根2.
但当 P 在AD之间时,作玄DQ 平行于AP,
作玄AE垂直于BP,交BP 于E1,交DQ于E2,
作玄CF垂直于BP,交BP 于F1,交DQ于F2,
正方形及BP,DQ,AE,CF 是中心对称图形,且BP = DQ,于是,E1P = DE2 = BF1.
在等腰直角三角形APE1 中,AP / E1P = 根2,
同理,BP / F1P= 根2.
所以根2 = AP/E1P = BP/F1P = （AP+BP）/ （E1P + F1P）
= （AP+BP）/ （BF1 + F1P）= （AP+BP）/ BP

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