已知函数y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．

Question

已知函数y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．

Answer 1

∵y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，
∴y=（a+2）(x−(a2−1)/(a+2))2+1-((a2−1)2)/(a+2)，其对称轴为x＝(a2−1)/(a+2)＝(a−2)+(3)/(a+2)，
因为a为正整数，故因0＜(3)/(a+2)≤1，a−2＜(a2−1)/(a+2)≤a−1，
因此，函数的最小值只能在x取a-2，a-1，(a2−1)/(a+2)时达到，
（1）当a-1=(a2−1)/(a+2)时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；
（2）a-2＜(a2−1)/(a+2)＜a-1时，即a＞1时，由于x是正整数，而(a2−1)/(a+2)为小数，故x=(a2−1)/(a+2)不能达到最小值，
当x=a-2时，y₁=（a+2）（a-2）²-2（a²-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y₂=（a+2）（a-1）²-2（a²-1）（a-1）+1，
又y₁-y₂=4-a，
①当4-a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a-1，使y₂为最小值；
②当4-a=0时，即a=4时，有y₁=y₂，此时x取2或3；
③当4-a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a-2，使y₁为最小值；
综上，x＝

a−1，1＜a＜4时

2或3，a＝4时

a−2，当a＞4时

（其中a为整数）．