已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2,x∈[-1,1].已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2,x∈[-1,1].（1）求f(x)的最小值（用a表示）；（2）关于x的方程f(x)=2a^2有解,求实数a的取值范围

Question

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2,x∈[-1,1].
已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2,x∈[-1,1].
（1）求f(x)的最小值（用a表示）；
（2）关于x的方程f(x)=2a^2有解,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2
=2^(2x)-2a2^x+a^2+2^(-2x)-2a2^(-x)+a^2
=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2
=[2^x+2^(-x)]^2-2a(2^x+2^(-x))+2a^2-2
=[2^x+2^(-x)-a]^2+a^2-2
若a≥5/2,则x=1时有最小值=[5/2-a]^2+a^2-2
若a≤2,则x=0时有最小值=[2-a]^2+a^2-2
若2关于x的方程f(x)=2a^2有解
f(x)=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2＝2a^2
2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))=0
2^(4x)+1-2a(2^(2x)+1)=0
4^(2x)-2a*4^x+1-2a=0
这是关于4^x的一元二次方程
若有解即△=(-2a)^2-4(1-2a)≥0
a^2+2a-1≥0
a≥-1+√2,a≤-1-√2
又4^x=[2a±2√(a^2+2a-1)]＞0
故a≥-1+√2
你这是什么题目,这么难做啊?