利用比例法求函数值域,有一点不懂十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域.例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.

Question

利用比例法求函数值域,有一点不懂
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域.
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数.
解：由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.
当k=－3/5时,x=3/5,y=－4/5时,zmin=1.
函数的值域为｛z|z≥1｝.
由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
这一步我看不懂,是怎么和参数k联系上的?

Answer 1

题印错了,是k=(x-3)/4 不是(x3)/4
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直线的参数方程是从点斜式变换来的,可以把XY两个变量化简成K一个变量
在直线上取任意一点(3,1) 直线的斜率为3/4 有:
(x-3)/(y-1)=4/3 (x-3)与(y-1)成比例
设x-3=4k y-1=3k 得k=(x-3)/4
不是k=(x3)/4
因为k=0时可以是直线上的任意点.所以可取直线上任意点.比如过(-1,-2) 得到 (x+1)/(y+2)=4k/3k 得出的结果一样 取整数点是便于计算.