如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．（I）求证：ED⊥AC；（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．

Question

如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．
（I）求证：ED⊥AC；
（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD
∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD
∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥AC（6分）
（Ⅱ）由（I）知：ED⊥平面ABCD
∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD=45°（8分）
设AB=a，则DE=BD=√(2)a
取DE中点M，连接AM
∵G是AF的中点∴AM∥GE
∴∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角（10分）
连接BD交AC于点O
∵AM=CM=√(a2+((√(2))/(2)a)2)=(√(6))/(2)a，O是AC的中点
∴MO⊥AC
∴cos∠MAC=(AO)/(AM)=((√(2))/(2)a)/((√(6))/(2)a)=(√(3))/(3)，
∴异面直线GE与AC所成角的余弦值为(√(3))/(3)．（12分）