已知抛物线C：y2=2px，且点P（1，2）在抛物线上．（1）求p的值（2）直线l过焦点且与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．

Question

已知抛物线C：y²=2px，且点P（1，2）在抛物线上．
（1）求p的值
（2）直线l过焦点且与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．

Answer 1

（1）∵点P（1，2）在抛物线y²=2px上，
∴4=2p，即p=2．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
若l⊥x轴，则|AB|=4，不适合．
设l：y=k（x-1），代入抛物线方程得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
△=16k²+16＞0，∴x1+x2＝(2(k2+2))/(k2)．
由|AB|＝x1+x2+2＝(2(k2+2))/(k2)+2＝10，得k2＝(2)/(3)，∴k＝±(√(6))/(3)．
∴直线l的方程为y＝±(√(6))/(3)(x−1)．