怎么求x√(4x-x方）的积分?

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怎么求x√(4x-x方）的积分?

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答案和解析

令x＝2＋2sinu,则：sinu＝（x－2）/2,u＝arcsin［（x－2）/2］,dx＝2cosudu.
∴∫x√（4x－x^2）dx
＝∫（2＋2sinu）√［4－（x^2－4x＋4）］（2cosu）du
＝4∫（1＋sinu）cosu√［4－（x－2）^2］du
＝4∫（1＋sinu）cosu√［4－4（sinu）^2］du
＝8∫（1＋sinu）（cosu）^2du
＝8∫（cosu）^2du＋8∫sinu（cosu）^2du
＝4∫（1＋cos2u）du－8∫（cosu）^2d（cosu）
＝4∫du＋2∫cos2ud（2u）－（8/3）（cosu）^3
＝4u＋2sin2u－（8/3）［1－（sinu）^2］^（3/2）＋C
＝4arcsin［（x－2）/2］＋4sinucosu－（8/3）［1－（x－2）^2/4］^（3/2）＋C
＝4arcsin［（x－2）/2］＋4［（x－2）/2］√［1－（sinu）^2］
　－（2/3）（4－x^2＋4x－4）^（3/2）＋C
＝4arcsin［（x－2）/2］＋2（x－2）√［1－（x－2）^2/4］－（2/3）（4x－x^2）^（3/2）＋C
＝4arcsin［（x－2）/2］＋（x－2）√（4－x^2＋4x－4）－（2/3）（4x－x^2）√（4x－x^2）＋C
＝4arcsin［（x－2）/2］＋（1/3）（3x－6－8x＋2x^2）√（4x－x^2）＋C
＝4arcsin［（x－2）/2］＋（1/3）（2x^2－5x－6）√（4x－x^2）＋C

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