已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论．

Question

已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论．

Answer 1

存在直线l，与每个圆都有公共点．
证明如下：
如图，先作直线l₀，设第i个圆在直线l₀上的正投影是线段A_iB_i，其中A_i、B_i分别是线段的左右端点．
10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点．                                         
因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，
设A_k是最右边的左端点，则所有右端点都在A_k的右边，
否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾．                                             
再设B_m是最左边的右端点，同理所有左端点都在B_m的左边．A_k与B_m不重合，
线段A_kB_m是任意一条投影线段的一部分，过线段A_kB_m上某一点作直线l₀的垂线l，
则l与10个圆都相交．