已知圆C：（x-a）2+（y-a-1）2=9，其中a为实常数．（1）若直线l：x+y-3=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；（2）设点A（3，0），0为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围．

Question

已知圆C：（x-a）²+（y-a-1）²=9，其中a为实常数．
（1）若直线l：x+y-3=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；
（2）设点A（3，0），0为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由圆的方程知，圆C的圆心为C（a，a+1），半径为3…（1分）
设圆心C到直线l的距离为d，
∵l被圆C截得弦长为2，
∴d²+1=9，即d=2√(2)，
∴(|a+(a+1)−3|)/(√(2))＝2√(2)，即|a-1|=2，
∴a=-1或a=3…（5分）
（2）设M（x，y），由|MA|=2|MO|，得√((x−3)2+y2)＝2√(x2+y2)
即x²+y²+2x-3=0…（7分）
∴点M在圆心为D（-1，0），半径为2的圆上．
又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，
∴1≤|CD|≤5…（9分）
∴1≤√((a+1)2+(a+1)2)≤5，
解得−1−(5√(2))/(2)≤a≤−1−(√(2))/(2)或−1+(√(2))/(2)≤a≤−1+(5√(2))/(2)…（11分）
故a的取值范围是[−1−(5√(2))/(2)，−1−(√(2))/(2)]∪[−1+(√(2))/(2)，−1+(5√(2))/(2)]…（12分）