在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112．试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．

Question

在曲线y=x²（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为(1)/(12)．试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．

Answer 1

如图所示，设切点A（x₀，y₀），
由y′=2x，得过点A的切线方程为
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=(x0)/(2)，即C（(x0)/(2)，0）．
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S．
S_{曲边三角形AOB}=∫x₀₀x²dx=(1)/(3)x^3|x₀₀=(1)/(3)x₀³，
S_△ABC=(1)/(2)|BC|•|AB|=(1)/(2)（x₀-(x0)/(2)）•x₀²=(1)/(4)x₀³．
∴S=(1)/(3)x₀³-(1)/(4)x₀³=(1)/(12)x₀³=(1)/(12)．
∴x₀=1，从而切点A的坐标为（1，1），切线方程为y=2x-1．