设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y=x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点，求△PAB面积的最大

Question

设椭圆M： （a＞b＞0）的离心率与双曲线x ² ﹣y ² =1的离心率互为倒数，且内切于圆x ² +y ² =4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y= x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点 ，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

设椭圆M： （a＞b＞0）的离心率与双曲线x ² ﹣y ² =1的离心率互为倒数，且内切于圆x ² +y ² =4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y= x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点 ，求△PAB面积的最大值．

（1）双曲线的离心率为 ，
则椭圆的离心率为
圆x ² +y ² =4的直径为4，则2a=4，
得：
所求椭圆M的方程为 ．
（2）直线AB的直线方程： ．
由 ，得 ，
由 ，
得﹣2 ＜m＜2
∵ ， ．
∴ =
又P到AB的距离为 ．则

当且仅当 取等号
∴ ．