已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求此抛物线方程．

Question

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为√(15)，求此抛物线方程．

Answer 1

由题意可设抛物线的方程y²=2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程

y2=2px

y=2x+1

可得，4x²+（4-2p）x+1=0
则x1+x2=(1)/(2)p-1，x1x2=(1)/(4)，y₁-y₂=2（x₁-x₂）
AB=√((x1-x2)2+(y1-y2)2)=√(5(x1-x2)2)=√(5[(x1+x2)2-4x1x2 ])=√(5((1)/(2)p-1)2-5)=√(15)
解得p=6或p=-2
∴抛物线的方程为y²=12x或y²=-4x