圆O过锐角三角形ABC的B,C交AB,AC于E,F另一等圆过A,E,F则圆O过三角形ABC的内心外心重心还是垂心一道难倒了许多老师学生的题求救

Question

圆O过锐角三角形ABC的B,C交AB,AC于E,F另一等圆过A,E,F则圆O过三角形ABC的内心外心重心还是垂心
一道难倒了许多老师学生的题 求救

Answer 1

这题应该没有这么难的.
图可以画出两种,一种是E、F分别在线段AB、AC上,一种是E、F一个在边上一个在延长线上.
先说E、F分别在线段AB、AC上的情况,图自己画
连接BF、EF
有ΔAEF和ΔBEF的外接圆半径相等
由正弦定理,有AF/sin∠AEF=BF/sin∠BEF
而∠AEF+∠BEF=180°,所以sin∠AEF=sin∠BEF
所以AF=BF
所以∠BFC=∠A+∠FBA=2∠A
上述四心里,只有外心T（本来该用字母O的…）恒有∠BTC=2∠A
故圆O过ΔABC的外心
另一种情况不妨设E在AB延长线上,F在线段AC上
则ΔAEF与ΔBEF外接圆半径相等
所以AF/sin∠AEF=BF/sin∠BEF,而∠AEF=∠BEF
所以AF=BF
后面的证明同前