第三题已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EF垂直于EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）1求证△AEF∽△EFC

Question

第三题
已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EF垂直于EC交AB于F，连接FC（AB＞AE） 1求证△AEF∽△EFC

Answer 1

证：过E做EP‖AB交FC于P
∵矩形ABCD
∴AB‖CD,∠C=∠B=∠A=90°,
设AD=BC=2x,AB=CD=y,AF=a
∴BF=y-a
∵E是AD中点,EP‖AB‖CD
∴P是FC中点（平行线等分线段定理）,AE=x
∴EP是梯形AFCD的中位线
∴EP=1/2 （AF+CD）=1/2（a+y）
∵EF⊥EC,P是FC的中点
∴Rt△EFC中EP是斜边FC的中线
∴FC=2EP=a+y
∵△FBC中,∠B=90°
∴BC=2√（a+y）=2x
∴x=√（a+y）
∴Rt△ECD中,EC=√（y^2+ay）
Rt△AFE中,EF=√（a^2+ay）
∴AF：AE=a：√ay=√ay：y
EF：EC=√（a^2+ay）：√（y^2+ay）=√ay：y
∴AF：AE=EF：EC
又∵∠A=∠FEC=90°
∴△AEF∽△EFC