椭圆a的平方分之X的平方+b的平方分之Y的平方=1(a>b>0)与直线X+Y=1交于P,Q两点,且OP垂直于OQ,其中O其中O为坐标原点（1）求a的平方分之1+b的平方分之1的值（2）若椭圆的离心率e满足3分之根号3

Question

椭圆a的平方分之X的平方+b的平方分之Y的平方=1(a>b>0)与直线X+Y=1交于P,Q两点,且OP垂直于OQ,其中O
其中O为坐标原点
（1）求a的平方分之1+b的平方分之1的值
（2）若椭圆的离心率e满足3分之根号3

Answer 1

(1) 直线x+y=1 y=1-x代入
椭圆x²/a²+y²/b²=1 得 x²/a²+(1-x)²/b²=1
整理得(1/a²+1/b²)x²-2x/b+1/b²-1=0 ①
设：P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,x2 是①的两个根,x1*x2=(1/b²-1)/(1/a²+1/b²) ②
同理可得：y1*y2=(1/a²-1)/(1/a²+1/b²) ③
OP垂直于OQ：OP斜率*OQ斜率=-1 即：（y1-0)/(x1-0) (y2-0)/(x2-0)=-1
即x1*x2+y1*y2=0 将② ③代入得 (1/b²-1)/(1/a²+1/b²) +(1/a²-1)/(1/a²+1/b²) =0
所以 1/a²+1/b²=2
(2) ∵1/a²+1/b²=2 b²=a²-c² e=c/a
∴ a²=(2-e²)/2(1-e²)
∵√3/3≤e≤√2/2
∴1/3≤e²≤1/2
∴5/4≤a²≤3/2
∴√5/2≤a≤√6/2
所以长轴的取值范围为[√5,√6]