已知抛物线y²=2x,圆x²+y²-4x+2=0,斜率存在的直线l与抛物线、圆依次交于点A,B,C,D,且AB=CD,求直线l在x轴上截距的取值范围

Question

已知抛物线y²=2x,圆x²+y²-4x+2=0,斜率存在的直线l与抛物线、圆依次交于点A,B,C,D,且AB=CD,求直线l在x轴上截距的取值范围

Answer 1

首先易知圆与抛物线无交点,所以a（x1,y1）d（x2,y2）是与抛物线的交点,b（x3,y3）c（x4,y4）是与圆的焦点,设直线为y=ax+b,代入抛物线,得到一个关于x的方程,由韦达
定理,得x1+x4,然后将直线带入圆,得x2+x3,因为AB=CD,所以x1-x2=x3-x4,所以x1+x4=x2+x3,解出b的取值范围即可