已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b
∴由题

c＝1

2ax+a+b＝2x

恒成立
∴

2a＝2

a+b＝0

c＝1

 得 

a＝1

b＝−1

c＝1

∴f（x）=x²-x+1
（2）f（x）=x²-x+1=(x−(1)/(2))2+(3)/(4)在[-1，(1)/(2)]单调递减，在[(1)/(2)，1]单调递增
∴f(x)min＝f((1)/(2))＝(3)/(4)，f（x）_max=f（-1）=3