下列函数中，在（0，π2）上有零点的函数是（）A.f（x）=sinx-xB.f（x）=sinx-2πxC.f（x）=sin2x-xD.f（x）=sin2x-2πx

Question

下列函数中，在（0，(π)/(2)）上有零点的函数是（　　）
A. f（x）=sinx-x
B. f（x）=sinx-(2)/(π)x
C. f（x）=sin²x-x
D. f（x）=sin²x-(2)/(π)x

Answer 1

对于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，(π)/(2)）
∴f（x）在（0，(π)/(2)）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，(π)/(2)）上无零点，故错；
对于B：令f′（x）=cosx-(2)/(π)=0，得x₁=arccos(2)/(π)，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0，当x1＜x＜(π)/(2)时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x1，(π)/(2)）上单调递减，
而f（0）=0，f（(π)/(2)）=0，故该函数在（0，(π)/(2)）上无零点，故错；
对于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，(π)/(2)）
∴f（x）在（0，(π)/(2)）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，(π)/(2)）上无零点，故错；
对于D：令f′（x）=2sinxcosx-(2)/(π)=sin2x-(2)/(π)=0，得x₁=arcsin(2)/(π)，或x₂=π-arcsin(2)/(π)，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＞0，当x2＜x＜(π)/(2)时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增，在（x2，(π)/(2)）上单调递减，
而f（0）=0，f（(π)/(2)）=0，故该函数在（0，(π)/(2)）上有零点，故正确；
故选D．