若p＞0,q＞0,且p的立方+q的立方=2,求证p+q≤2最好用命题和反证法证明

Question

若p＞0,q＞0,且p的立方+q的立方=2,求证p+q≤2
最好用命题和反证法证明

Answer 1

P^3+Q^3=(P+Q)(Q^2-P*Q+P^2)=2
假设p+Q>2,
则由上式Q^2-p*Q+p^2=0,得p^2+Q^2>=2p*Q,
因此2(p^2+Q^2)>=p^2+2Q*P+Q^2=(p+Q)^2,
故p^2+Q^2>=[（p+Q)^2]/2,而且 （p+Q)^2=p^2+2p*Q+Q^2>=4p*Q,
p*Q=[（p+Q)^2]/2-[（p+Q)^2]/4=[（p+Q)^2]/4>2^2/4=1,这和由假设推出的Q^2-p*Q+p^2