观察下列各式：13+23=14×4×9=14×22×3213+23+33=36=14×9×16=14×32×4213+23+33+43=100=14×16×25=14×42×52（1）计算：13+23+33+43+…+103的值；（2）猜想：13+23+33+43+…+n3的值．（3）计算：513+523+533+…+993+1003的值

Question

观察下列各式：
1³+2³=(1)/(4)×4×9=(1)/(4)×2²×3²
1³+2³+3³=36=(1)/(4)×9×16=(1)/(4)×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=(1)/(4)×16×25=(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．观察下列各式：
1³+2³=(1)/(4)×4×9=(1)/(4)×2²×3²
1³+2³+3³=36=(1)/(4)×9×16=(1)/(4)×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=(1)/(4)×16×25=(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．
³³(1)/(4)×4×9=(1)/(4)×2²×3²
1³+2³+3³=36=(1)/(4)×9×16=(1)/(4)×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=(1)/(4)×16×25=(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．(1)/(4)141144(1)/(4)×2²×3²
1³+2³+3³=36=(1)/(4)×9×16=(1)/(4)×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=(1)/(4)×16×25=(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．(1)/(4)141144^22
333(1)/(4)×9×16=(1)/(4)×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=(1)/(4)×16×25=(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．(1)/(4)141144(1)/(4)×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=(1)/(4)×16×25=(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．(1)/(4)141144^22
3333(1)/(4)×16×25=(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．(1)/(4)141144(1)/(4)×4²×5²
（1）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（2）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．
（3）计算：51³+52³+53³+…+99³+100³的值．(1)/(4)141144^{22
33333
33333
33333}

Answer 1

（1）1³3+2³3+3³3+4³3+…+10³3
=(1)/(4)×102×112
=3025；
（2）由题意可得，
1³+2³+3³+4³+…+n³=(1)/(4)×n2×(n+1)2；
（3）51³+52³+53³+…+99³+100³
=1³+2³+3³+4³+…+100³-（1³+2³+3³+4³+…+50³）
=(1)/(4)×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． (1)/(4)14111444×102×112
=3025；
（2）由题意可得，
1³+2³+3³+4³+…+n³=(1)/(4)×n2×(n+1)2；
（3）51³+52³+53³+…+99³+100³
=1³+2³+3³+4³+…+100³-（1³+2³+3³+4³+…+50³）
=(1)/(4)×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． 2×112
=3025；
（2）由题意可得，
1³+2³+3³+4³+…+n³=(1)/(4)×n2×(n+1)2；
（3）51³+52³+53³+…+99³+100³
=1³+2³+3³+4³+…+100³-（1³+2³+3³+4³+…+50³）
=(1)/(4)×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． 2
=3025；
（2）由题意可得，
1³3+2³3+3³3+4³3+…+n³3=(1)/(4)×n2×(n+1)2；
（3）51³+52³+53³+…+99³+100³
=1³+2³+3³+4³+…+100³-（1³+2³+3³+4³+…+50³）
=(1)/(4)×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． (1)/(4)14111444×n2×(n+1)2；
（3）51³+52³+53³+…+99³+100³
=1³+2³+3³+4³+…+100³-（1³+2³+3³+4³+…+50³）
=(1)/(4)×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． 2×(n+1)2；
（3）51³+52³+53³+…+99³+100³
=1³+2³+3³+4³+…+100³-（1³+2³+3³+4³+…+50³）
=(1)/(4)×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． 2；
（3）51³3+52³3+53³3+…+99³3+100³3
=1³3+2³3+3³3+4³3+…+100³3-（1³3+2³3+3³3+4³3+…+50³3）
=(1)/(4)×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． (1)/(4)14111444×1002×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． 2×1012-(1)/(4)×502×512
=23876875． 2-(1)/(4)14111444×502×512
=23876875． 2×512
=23876875． 2
=23876875．