高中数学（圆锥曲线)急哟!点A(-2,0),B(2,0),动点P满足∠APB=2a,且|PA|*|PB|*（sina）的平方=2点P的轨迹为Q,过点B的直线L与轨迹交于M、N两点,试问在X轴上是否存在点C,使向量CM点乘向量CN为常数,存在,求

Question

高中数学（圆锥曲线)急哟!
点A(-2,0),B(2,0),动点P满足∠APB=2a,且|PA|*|PB|*（sina）的平方=2
点P的轨迹为Q,过点B的直线L与轨迹交于M、N两点,试问在X轴上是否存在点C,使向量CM点乘向量CN为常数,存在,求之,不存在,说明理由.

Answer 1

点A(-2,0),B(2,0),动点P满足∠APB=2a,且|PA|*|PB|sin²α=2,点P的轨迹为Q,过点B的直线L与轨迹交于M、N两点,试问在X轴上是否存在点C,使向量CM点乘向量CN为常数,存在,求之,不存在,说明理由
设动点P的坐标为（x, y),则向量PA=(x+2, y), 向量PB=(x-2, y).
│PA│=√[(x+2)²+y²], │PB│=√[(x-2)²+y²]
│PA││PB│sin²α=│PA││PB│(1-cos2α)/2=2
故有│PA││PB│-│PA││PB│cos2α=│PA││PB│- PA•PB
=√{[(x+2)²+y²][(x-2)²+y²]}-[(x+2)(x-2)+y²]=4
√{[(x+2)²+y²][(x-2)²+y²]}=x²+y²
两边平方去根号,化简得P的轨迹方程为：x²/2-y²/4=1
即2x²-y²=4.(1)
这是一条双曲线,其a=√2, b=2, c=√6, e=√3, 焦点在x轴上.
设C(m, 0),过C的直线方程为 y=k(x-m).代入（1）式得：
2x²-k²(x-m)²=(2-k²)x²+2mk²x-m²k²-4=0
直线与双曲线的交点M(x₁,y₁), N (x₂,y₂).则：
x₁+x₂=2mk²/(k²-2)
x₁x₂=(m²k²+4)/(k²-2)
y₁y₂=[k(x₁-m)][k(x₂-m)]=k²[x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²]
=k²[(m²k²+4)/(k²-2)-2m²k²/(k²-2)+m²]=(1-2m²)/(k²-2)
向量CM=（x₁-m, y₁); 向量CN=(x₂-m, y₂)
CM•CN=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=(m²k²+4)/(k²-2)-2m²k²/(k²-2)+m²+(1-2m²)/(k²-2)=(5-4m²)/(k²-2)=常量
则只有 5-4m²=0, 故 m=±(√5 )/2
即存在点C(±(√5 )/2 , 0)使CM•CN=0