已知函数f（x）=ex-（2a+e）x，a∈R．（Ⅰ）若对任意x≥1，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当a＞-e2时，关于x的不等式f（x）+b＜0在实数范围内总有解，求实数b的取值

Question

已知函数f（x）=e^x-（2a+e）x，a∈R．
（Ⅰ）若对任意x≥1，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当a＞-(e)/(2)时，关于x的不等式f（x）+b＜0在实数范围内总有解，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）已知对任意x≥1，f（x）≥1恒成立，则e^x-（2a+e）x≥1，
即对任意x≥1，不等式2a+e≤(ex−1)/(x)恒成立．
令h(x)＝(ex−1)/(x)，当x≥1时，h/(x)＝(ex(x−1)+1)/(x2)＞0
所以y=h（x）在[1，+∞]上单调递增，
函数h（x）有最小值，最小值为h（1）=e-1，
所以2a+e≤e-1，
解得a≤−(1)/(2)；
故实数a的取值范围为（-∞，-(1)/(2)）
（Ⅱ）因为f（x）=e^x-（2a+e）x，所以f'（x）=e^x-（2a+e）
因为a＞−(e)/(2)，所以2a+e＞0
由f'（x）＞0⇒x＞ln（2a+e）f'（x）＜0⇒x＜ln（2a+e）
所以x∈（-∞，ln（2a+e））时，函数f（x）单调递减，x∈（ln（2a+e），+∞）时，函数f（x）单调递增，
所以f(x)min＝f[ln(2a+e)]＝eln(2a+e)−(2a+e)•ln(2a+e)=（2a+e）-（2a+e）•ln（2a+e）
因为不等式f（x）+b＜0在实数范围内总有解，
则不等式（2a+e）-（2a+e）•ln（2a+e）+b≤0恒成立，
即当a＞−(e)/(2)时，不等式b≤（2a+e）•ln（2a+e）=（2a+e）恒成立．
令t=2a+e，g（t）=tlnt-t（t＞0），则g′（t）=lnt，g′（t）＞0⇒t＞1，
即t∈（1，+∞）时，函数g（t）单调递增，g′（t）＜0⇒t＜1，
即t∈（-∞，1）时，函数g（t）单调递减，
所以函数g（t）有最小值，最小值为g（1）=-1，
所以b≤-1．
故实数b的取值范围为（-∞，-1]