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bk=lnk是否存在k使得bk,bk+1,bk+2成等比数列
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bk=lnk 是否存在k使得bk,bk+1,bk+2成等比数列
▼优质解答
答案和解析
不存在
令f(x)=ln(x+1)/lnx
f'(x)=[lnx/(x+1)-ln(x+1)/x]/(lnx)²
当x＞1时,显然xlnx＜(x+1)ln(x+1),即lnx/(x+1)＜ln(x+1)/x
由此知x＞1时,f'(x)＜0,f(x)单调递减
故k＞1时,f(k)＞f(k+1),即bk+1/bk＞bk+2/bk+1,bk,bk+1,bk+2不成等比数列
而0＜k≤1时,bk≤0,bk+1＞0,bk+2＞0,bk,bk+1,bk+2不成等比数列
综上,不存在k使得bk,bk+1,bk+2成等比数列
令f(x)=ln(x+1)/lnx
f'(x)=[lnx/(x+1)-ln(x+1)/x]/(lnx)²
当x＞1时,显然xlnx＜(x+1)ln(x+1),即lnx/(x+1)＜ln(x+1)/x
由此知x＞1时,f'(x)＜0,f(x)单调递减
故k＞1时,f(k)＞f(k+1),即bk+1/bk＞bk+2/bk+1,bk,bk+1,bk+2不成等比数列
而0＜k≤1时,bk≤0,bk+1＞0,bk+2＞0,bk,bk+1,bk+2不成等比数列
综上,不存在k使得bk,bk+1,bk+2成等比数列
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