高中余弦定理题设三角形ABC的三内角A、B、C成等差数列,三条边a、b、c之倒数也成等差数列,求角A、B、C

Question

高中余弦定理题
设三角形ABC的三内角A、B、C成等差数列,三条边a、b、c之倒数也成等差数列,求角A、B、C

Answer 1

答：
角A,B,C成等差数列,所以角B为60度,设角A,B,C分别为
π/3-t,π/3,π/3+t,
由2/b=1/a+1/c,
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC,
sinB=√3/2代入,
4/√3=1/sin(π/3-t)+1/sin(π/3+t)
4/√3=[sin(π/3-t)+sin(π/3+t)]/[sin(π/3-t)sin(π/3+t)]
展开得到
(4/√3)*[3/4(cost)^2-1/4(sint)^2]=√3cost
4{3/4(cost)^2-1/4[1-(cost)^2]}=3cost
4(cost)^2-3cost-1=0
(cost-1)(4cost+1)=0
得到合理解cost=1
t=0,
这说明角A,B,C均为π/3.