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L是过点（4，0）且与椭圆D：x24+y23=1相切的直线．（1）求直线L的方程；（2）求直线L与该椭圆及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．

题目详情
L是过点（4，0）且与椭圆D：
x 2
4
+
y2
3
=1相切的直线．
（1）求直线L的方程；
（2）求直线L与该椭圆及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．
x 2
4
+
y2
3
=1相切的直线．
（1）求直线L的方程；
（2）求直线L与该椭圆及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．
x 2
4
x 2x 2 2 2244
y2
3
=1相切的直线．
（1）求直线L的方程；
（2）求直线L与该椭圆及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．
y2
3
y2y2y2y2233

▼优质解答
答案和解析
（1）设P（x00，y00）是椭圆上的点，则在点P的切线斜率y′|P＝−
3
4
x0
y0
，(y0≠0)
∴过点P的切线方程为：
y−y0＝−
3
4
x0
y0
(x−x0)
又切线过点（4，0）
∴令x=4，y=0，得
y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． y′|P＝−
3
4
x0
y0
，(y0≠0)
∴过点P的切线方程为：
y−y0＝−
3
4
x0
y0
(x−x0)
又切线过点（4，0）
∴令x=4，y=0，得
y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． P＝−
3
4
333444
x0
y0
x0x0x00y0y0y00，(y0≠0)
∴过点P的切线方程为：
y−y0＝−
3
4
x0
y0
(x−x0)
又切线过点（4，0）
∴令x=4，y=0，得
y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0≠0)
∴过点P的切线方程为：
y−y0＝−
3
4
x0
y0
(x−x0)
又切线过点（4，0）
∴令x=4，y=0，得
y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． y−y0＝−
3
4
x0
y0
(x−x0)
又切线过点（4，0）
∴令x=4，y=0，得
y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0＝−
3
4
333444
x0
y0
x0x0x00y0y0y00(x−x0)
又切线过点（4，0）
∴令x=4，y=0，得
y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0)
又切线过点（4，0）
∴令x=4，y=0，得
y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． y0＝
3
4
x0
y0
(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0＝
3
4
333444
x0
y0
x0x0x00y0y0y00(4−x0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0)
而
x02
4
+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π．
x02
4
x02x02x02022444+
y02
3
=1
∴解得
x0=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π．
y02
3
y02y02y02022333=1
∴解得
x00=1，y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． y0＝±
3
2

∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0＝±
3
2
333222
∴切线L的方程为：
①当y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． y0＝
3
2
时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0＝
3
2
333222时，L：x+2y-4=0；
②当y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． y0＝−
3
2
时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V1，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V2，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 0＝−
3
2
333222时，L：x-2y-4=0．
（2）设切线在切点到点（4，0）这一段与x轴所围成的三角形绕X轴所得体积（圆锥的体积）为V11，椭圆在切点到点（2，0）这一段与x轴和x=1所围成的平面图形绕X轴所得体积为V22，则
V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． V1＝
1
3
π•(
3
2
)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 1＝
1
3
111333π•(
3
2
333222)2•3＝
9
4
π
V2=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 2•3＝
9
4
999444π
V22=
∫
2
1
πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π．
∫
2
1
∫
2
1
∫∫
2
1
2
2
1
1πy2dy＝π
∫
2
1
3×(1−
x2
4
)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 2dy＝π
∫
2
1
∫
2
1
∫∫
2
1
2
2
1
13×(1−
x2
4
x2x2x22444)dx=3π[1−
1
12
x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 3π[1−
1
12
111121212x3
|
2
1
]＝
5
4
π
∴所求体积为：
V=V1-V2=π． 3
|
2
1
|
2
1
||
2
1
2
2
1
1]＝
5
4
555444π
∴所求体积为：
V=V11-V22=π．
看了 L是过点（4，0）且与椭圆D...的网友还看了以下：

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