求曲线AB：y=f（x）≥0的方程，使曲线y=f（x）与两个坐标轴及过点（x，0）（x＞0）的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于45x．

Question

求曲线AB：y=f（x）≥0的方程，使曲线y=f（x）与两个坐标轴及过点（x，0）（x＞0）的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于(4)/(5)x．

Answer 1

旋转体的形心横坐标公式为：

.

x

=(∭Ωxtdtdydz)/(V)，
其中旋转体的体积为：V=π

∫

x 0

f2(t)dt．
由已知，

.

x

=(4)/(5)x，
从而，

∭

Ωx

tdtdydz=(4)/(5)πx

∫

x 0

f2(t)dt．
因为

∭

Ωx

tdtdydz=

∫

x 0

tdt

∬

Dt

dydz=

∫

x 0

tπf2(t)dt，
故有 

∫

x 0

tπf2(t)dt=(4)/(5)πx

∫

x 0

f2(t)dt．
两边对x求导可得：
xf²（x）=(4)/(5)xf2(x)+(4)/(5)

∫

x 0

f2(t)dt，
整理即得：
xf²（x）=4

∫

x 0

f2(t)dt．
再次求导可得，
f²（x）+2xf（x）f′（x）=4f²（x），
整理即得：
(f′(x))/(f(x))=(3)/(2x)．
两边积分可得，
ln|f（x）|=(3)/(2)ln|x|，
因此可得：
f(x)＝Cx(3)/(2)（C是任意常数）．