已知点A与B的直角坐标分别为（1，0，0）与（0，1，1）．线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S．求由S及两平面z=0，z=1所围成的立体体积．

Question

已知点A与B的直角坐标分别为（1，0，0）与（0，1，1）．线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S．
求由S及两平面z=0，z=1所围成的立体体积．

Answer 1

由空间中的直线方程的参数方程可知，线段AB的方程为：

x＝1−t

y＝t

z＝t

t∈[0，1]，
线段AB绕z轴旋转所成的曲面S的方程为：
x²+y²=（1-t）²+t²=（1-z）²+z²=1-2t+2t²，
S是以 （1，0，0）为顶点的一个圆锥曲面（不含底面），其对称轴为z轴，
S 与 Z=0，Z=1围成一个圆锥，用垂直于z轴的平面去截，所得截面为圆，面积为：π（1-2t+2t²），
所以：V=π

∫

1 0

(1−2z+2z2)dz=(2)/(3)π．