已知定义在R上的二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且图像在y轴上的截距为5,在x轴上的截的线段长为6,求函数f(x)的解析式(写的清楚点)

Question

已知定义在R上的二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且图像在y轴上的截距为5,在x轴上的截的线段长为6,求函数f(
x)的解析式(写的清楚点)

Answer 1

设f(x)=ax²+bx+c,f(x)==0的两个根分别为x1,x2
∵f(2+x)=f(2-x)
∴函数图像的对称轴为x=2
∴-b/(2a)=2
∴b=-4a
∴f(x)=ax²-4ax+c
∵图象在y轴上的截距为5,
∴f(0)=c=5
∴f(x)=ax²-4ax+5
∵x1+x2=4,x1x2=5/a
∴(x1-x2)²=x1²-2x1x2+x2²=x1²+2x1x2+x2²-4x1x2=(x1+x2)²-4x1x2=4²-20/a=16-20/a
又∵∵在x轴上的截得的线段长为6
∴|x1-x2|=√(x1-x2)²=√(16-20/a)=6 解得：a=-1
∴f(x)=ax²-4ax+5=-x²+4x+5
∴ 函数f(x)的解析式为 f(x)=x²+4x+5