对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为

Question

对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．
（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
（2）若f（a）=(π)/(2)，f（b）=-(π)/(2)，求a+b的值；
（3）证明：f（x）是奇函数．

Answer 1

证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，
故sin[g（x）]是奇函数，
当：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u₀）]=1，
则sin[g（-u₀）]=-1，
即“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
故：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
当：“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”时，sin[g（-u₀）]=-1，
则sin[g（u₀）]=1，
即“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”；
故：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
综上可得：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，
f（a）=(π)/(2)，f（b）=-(π)/(2)，
则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1-1=0，
则a=-b，
则a+b=0
证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．
故sin[f（-x）]+sin[f（x）]=0，
即sin[f（-x）]=-sin[f（x）]=sin[-f（x）]，
f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数．