一道数学题,琢磨半天也没琢磨明白在三角形ABC中,角CAB=120度,AB=4,AC=2,AD垂直BC,D是垂足,求AD的长.应该跟三角函数有关

Question

一道数学题,琢磨半天也没琢磨明白
在三角形ABC中,角CAB=120度,AB=4,AC=2,AD垂直BC,D是垂足,求AD的长.
应该跟三角函数有关

Answer 1

方法一：：：：：：
由关于正弦的面积公式得：
S=1/2AB*AC*sin∠CAB
=1/2*4*2*sin120°
=4*√3/2
=2√3
再由余弦定理,得
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*ACcos∠CAB
=4^2+2^2-2*4*2*cos120°
=16+4-16*(-1/2)
=20+8
=28
解得：BC=2√7,
S=1/2*BC*AD=2√3
1/2*2√7*AD=2√3
解得：AD=2/7√21.
.
方法二：：：：：：只用到很简单的方法即可解决!请关注：
过C点向BA作垂线,交于BA的延长线于E点,则有
∠CAE=60°,∠CEA=30°,在Rt△CEA中,30°所对直角边等于斜边一半,所以EA=1/2*AC=1/2*2=1,并由勾股定理求得：CE=√3,
因为：∠ABD=∠CBE,∠ADB=∠CEB=90°,所以△ADB∽△CEB,于是
DB/EB=AD/CE,其中EB=EA+AB=1+4=5,
因此：DB/AD=EB/CE=5/√3,DB=5/√3*AD,
由勾股定理,得：
AD^2+DB^2=AB^2=4^2=16,
AD^2+(5/√3*AD)^2=16
AD^2+25/3*AD^2=16
AD^2=16*3/28=12/7
解得：AD=2/7√21.