直角坐标系中曲线C的参数方程为x=4cosθy=2sinθ（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．

Question

直角坐标系中曲线C的参数方程为

x=4cosθ

y=2sinθ

（θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．

Answer 1

（1）变形曲线C的参数方程可得

cosθ=(x)/(4)

sinθ=(y)/(2)

，
∵cos²θ+sin²θ=1，
∴曲线C的直角坐标方程为(x2)/(16)+(y2)/(4)=1；
（2）设直线l的倾斜角为θ，
可得直线l的参数方程为

x=2+tcosθ

y=1+tsinθ

（t为参数）
代入曲线C的直角坐标方程并整理得（cos²θ+4sin²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0
由韦达定理可得t₁+t₂=-(4cosθ+8sinθ)/(cos2θ+4sin2θ)，t₁t₂=(-8)/(cos2θ+4sin2θ)
由题意可知t₁=-2t₂，代入上式得12sin²θ+16sinθcosθ+3cos²θ=0，
即12k²+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k=(-4±√(7))/(6)