1.在梯形ABCD中AB‖CD(CD是上底,AB是下底),∠A+∠B=90°,E和F分别为AB和CD的中点.求证:EF=1/2*(AB-CD).2.等腰梯形ABCD中AB‖CD(CD是上底,AB是下底),AD=BC,AC和BD为两条对角线,且AC⊥BD,CH是AB上的高.求证:AB+CD=2CH.

Question

1.在梯形ABCD中AB‖CD(CD是上底,AB是下底),∠A+∠B=90°,E和F分别为AB和CD的中点.求证:EF=1/2*(AB-CD).
2.等腰梯形ABCD中AB‖CD(CD是上底,AB是下底),AD=BC,AC和BD为两条对角线,且AC⊥BD,CH是AB上的高.求证:AB+CD=2CH.
3.在正方形ABCD中,对角线AC.BD交于O点,MN‖AB,且分别与AO.BO交与M.N.求证:(1)BM=CN;(2)BM⊥CN.

Answer 1

1.延长AD、BC交于M,则∠AMD=90度.
则E、F、M三点共线(这可以用相似比证明)
在Rt△ABM中,ME=1/2*AB
在Rt△CMD中,MF= 1/2*CD
故EF=ME-MF=1/2*(AB-CD)
2.过C作CE//DB交AB延长线于E.
则DCEB是平行四边形.BD=CE ,且AC⊥CE
等腰梯形ABCD可得：AC=BD=CE
所以ACE是等腰直角三角形.又CH⊥AE,故AE=2CH
即：2CH=AE=AB+CD
3.正方形ABCD,MN//AB 可得AM=BN
再证△ABM ≌△CBN (边角边)
所以 BM=CN
∠ABM=∠BCN
延长CN交BM 于E
因∠ABM+∠CBM=90,故∠BCN+ ∠CBM=90
故∠CEB=90.即CN ⊥MB