已知点p（x0,y0）在曲线f（x,y）=0上,也在曲线g（x,y）=0上.求证：P在曲线f（x,y）+eg（x,y）=0上（e为它的倍数）并用此结论解下列题目求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点与直线3x+y-1=0平行的直线

Question

已知点p（x0,y0）在曲线f（x,y）=0上,也在曲线g（x,y）=0上.求证：P在曲线f（x,y）+eg（x,y）=0上（e为它的倍数）并用此结论解下列题目
求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点与直线3x+y-1=0平行的直线方程

Answer 1

由题意,f(x0,y0)=0, g（x0,y0）=0 所以f（x0,y0)+eg(x0,y0)=0,所以P在那个曲线f+eg=0上
设所求直线方程为(2x-3y-3)+e(x+y+2)=0,即（2+e）x+（e-3）y+（2e-3）=0
由题目中结论,交点在此直线上（注意,三条直线没有垂直关系,才能这么设；否则可能解不出来.比如l,m,n三条直线,l与m垂直,与n平行,那么设为l=m+en的话,e是解不出来的,要设为l=em+n才可解得e=0）
因与3x+y-1平行,对应系数成比例,故有(2+e)/(e-3)=3/1,解出e即可.
e=5.5,因此所求直线方程为7.5x+2.5y+8=0,等价于3x+y+16/5=0