抛物线y=-x^2+px+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),当p,q为正整数时,求p,q的值如题

Question

抛物线y=-x^2+px+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),当p,q为正整数时,求p,q的值
如题

Answer 1

原抛物线方程：y=-x^2+px+q化为
y=-(x-p/2)^2+(p^2+4q)/4
易知函数y=-x^2+px+q为二次上凸（下凹)函数,即开口向下的二次函数,
由题意知抛物线有两个不同的零点
从而必有抛物线最高点：(p^2+4q)/4＞0 …①
考虑零点取已知区间极值的情况：
1）一个零点为-1,一个为1,此时对称轴x=0
从而p/2＞0
2)一个零点为0,一个为2,此时对称轴x=1
从而p/2＜1
综合1）,2）有0＜p＜2
又p为整数,故p=1 （到这儿可知①肯定成立啦）
从而y=-x^2+x+q
下面确定q的值:
由题意抛物线y=f(x)=-x^2+x+q的零点一个在(-1,0),一个在(1,2),
有f(-1)f(0)＜0,即q(q-2)＜0,解得：0＜q＜2
另外f(1)f(2)＜0,即q(q-2)＜0,其实和上一个为同一个不等式呵O(∩_∩)O~
因为q也是整数,0＜q＜2,所以q=1
综上p=1,q=1.
PS:得到f(-1)f(0)＜0的原理,就是若抛物线(这里说所有二次抛物线）的零点在
（-1,0）上,那么是不是f(-1),f(0)必然是一个取正值,一个取负值呢?!
f(-1),f(0)一正一负,从而：f(-1)f(0)＜0
这个思想对解决这种零点在某个区间上不确定值时很重要哦!