设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,/PF1-*/PF2/=2,求椭圆方程。x^2/a^2+y^2/b^2=1.

Question

设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,/PF1-*/PF2/=2,求
椭圆方程。x^2/a^2+y^2/b^2=1.

Answer 1

设P(acosθ,bsinθ）,F1(-c,0),F2(c,0)
向量PF1=(-c-acosθ,-bsinθ)
向量PF2=(c-acosθ,-bsinθ)
向量PF1与向量F2的点乘积
=(-c-acosθ)(c-acosθ)+(-bsinθ)(-bsinθ)
=acosθ-c+bsinθ
=a(1-sinθ)-c+bsinθ
=a-c-(a-b)sinθ
=b-(a-b)sinθ
因为F1、F2分别是椭圆左右两个焦点
所以a>b>0
所以向量PF1与向量F2的点乘积的范围是[2b-a,b] 由题设知向量PF1与向量F2的点乘积的范围是[-4/3,4/3] 所以2b-a=-4/3,b=4/3 即a=4,b=4/3 所以此椭圆方程为:x^2/4+3y^2/4=1