求求能人:若直线√2x-2y=0与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的两个交点在x轴上的射影恰好是该双曲线的两个焦点,则此双曲线离心率等于多少?

Question

求求能人:
若直线√2x-2y=0与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的两个交点在x轴上的射影恰好是该双曲线的两个焦点,则此双曲线离心率等于多少?

Answer 1

√2x-2y=0
y=x/√2
代入:x^2/a^2-y^2/b^2=1,得:
x^2=2a^2*b^2/(2b^2-a^2)
此方程的两个解应为:c,-c
所以:c^2=2a^2*b^2/(2b^2-a^2)
而:c^2=a^2+b^2
所以:a^2+b^2=2a^2*b^2/(2b^2-a^2)
a^4+a^2*b^2-2b^4=0
(a^2-b^2)(a^2+2b^2)=0
a^2-b^2=0
a^2=b^2
c^2=a^2+b^2=2a^2
c/a=√2
离心率e=c/a=√2